【欧拉计划第 2 题】 偶数斐波那契数 Even Fibonacci numbers

发表于 分类于 阅读次数： 本文字数： 1.8k 阅读时长 ≈ 2 分钟

Problem 2 Even Fibonacci numbers

Each new term in the Fibonacci sequence is generated by adding the previous two terms. By starting with 1 and 2, the first 10 terms will be:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
By considering the terms in the Fibonacci sequence whose values do not exceed four million, find the sum of the even-valued terms.

问题 2 偶数斐波那契数

斐波那契数列中的每个新项都是通过添加前两项来生成的。从 1 和 2 开始，前 10 个术语将是：
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
通过考虑斐波那契数列中值不超过四百万的项，求偶数项之和。

思路分析

斐波那契数列

首先清楚什么是斐波那契数列

斐波那契数（Successione di Fibonacci），又译为菲波拿契数、菲波那西数、斐氏数、黄金分割数。所形成的数列称为斐波那契数列

数学定义

数学上，使用递归的方法定义

通俗来讲，斐波那契数列由 0（第零项） 和 1 开始，之后的斐波那契数由之前的两数相加得出，举例

1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、 34、 55、 89、 144、 233、 377……

解题报告

常规

看到这么多数字，并且有一定规律，我们自然而然会联想到数组。利用其数学定义解决，关键在于第三个斐波那契数值等于前两个数值相加，而后一直如此，实现如下

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
/*
 * @Author: coder-jason
 * @Date: 2022-04-05 12:26:31
 * @LastEditTime: 2022-04-05 14:05:48
 */
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int f[1000], sum = 0;
    f[0] = 2; // 由循环中等式导出的结果
    f[1] = 1;
    f[2] = 2; //初始化数组前三个元素,其他默认为 0
    while (f[f[0]] < 4000000)
    {                                        //数组第一个元素的值小于 4000000
        f[f[0] + 1] = f[f[0]] + f[f[0] - 1]; // 首先理解 F[3]=F[2]+F[1] 然后类比到数组,用元素 f[0] 代换即可
        f[0]++;                              //每计算得出一个斐波那契数,数组第一个元素加 1(记录共有多少个斐波那契数)
    }
    for (int i = 0; i < f[0]; i++)
    {
        if (f[i] % 2 == 0)
        {
            sum += f[i];
        }
    }
    cout << sum << endl;
    return 0;
}

优化

仔细思考下，常规解决方案中，我们开辟了很大的内存空间，但实质上每次增加（记录下一个斐波那契数）的却只是用到了三个元素来进行求和运算，所以我们仅开辟一个三个元素的数组就好，节省了很大的内存开销

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
/*
 * @Author: coder-jason
 * @Date: 2022-04-05 12:26:31
 * @LastEditTime: 2022-04-05 14:20:43
 */
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int f[3], sum = 0;
    f[0] = 1;
    f[1] = 2;
    for (int i = 2; f[2] < 4000000; i++)
    {
        f[2] = f[1] + f[0];
        f[0] = f[1];
        f[1] = f[2]; // 后续数字依次向前推进,在前三个元素中进行计算
        if (f[2] % 2 == 0)
        {
            sum += f[2];
        }
    }
    //由于 sum 计算的是偶数项的和,但是前三个数字 1 ,2 ,3 中
    // 2 是斐波那契数,但是 3%2 不为 0 ,sum 此时并未计算斐波那契数 2,结果需要加上
    cout << sum + 2 << endl;
    return 0;
}

答案：4613732